Абелева категорія
А́белева катего́рія — адитивна категорія A, в якій кожен морфізм має ядро і коядро, причому кожен мономорфізм є ядром, а кожен епіморфізм є коядром певного морфізму. У такому разі кожен морфізм α : A → B у категорії A розкладається в добуток α′ α″ епіморфізму α′ : A → C, який називають кообразом морфізму α і мономорфізму α″: C → B, що називають образом морфізму α.
Важливими прикладами абелевої категорії є категорія модулів над деяким кільцем, а також категорія пучків модулів над деяким простором з фіксованим пучком кілець.
Поняття абелевої категорії було впроваджено Д. Буксбаумом 1955 з назвою «точні категорії» та А. Гротендіком у 1957 (який і запровадив термін «Абелева категорія», зважаючи на те, що категорія абелевих груп є такою). Це поняття використане для поєднання різних теорій гомологій і когомологій у єдину теорію похідних функторів у абелевій категорії. А. Ґротендік запропонував також додаткові аксіоми, виконання яких у абелевій категорії забезпечує існування «хорошої» теорії похідних функторів. Це призвело до розуміння категорії Гротендіка як Абелевої категорії A з такими властивостями: для довільної множини об’єктів {Ai} існує їхній добуток і кодобуток; добуток довільної множини епіморфізмів є епіморфізмом, а кодобуток довільної множини мономорфізмів є мономорфізмом; функтор прямої границі за довільною направленою множиною індексів є точним.
На сучасному етапі у категоріях Гротендіка (такими є, наприклад, категорії модулів та пучків) будують здебільшого гомологічну алгебру. В абелевій категорії є поняття точної послідовності морфі змів — це така їх послідовність, в якій образ кожного морфізму збігається з ядром наступного. Відповідно, адитивний функтор F: A → B між абелевою категорією називають точним, якщо він переводить кожну точну послідовність у таку саму. Б. Мітчел довів, що для кожної малої абелевої категорії A (тобто такої, що її об’єкти утворюють множину) існує точний функтор F : A → Mod R, який також є повним, тобто таким, що всі індуковані ним відображення HomA (A,B) → HomR (FA,FB) є взаємно однозначними. Це дозволяє переносити значну кількість теорем про категорії модулів на довільні абелеві категорії. Важливою перевагою абелевої категорії є те, що значна кількість категорійних конструкцій у застосуванні до абелевої категорії знову дає абелеву категорію. До таких належать насамперед категорії функторів C → A з довільної категорії C до абелевої категорії A.
Абелева категорія та пов’язана гомологічна алгебра мають численні можливості застосування в алгебраїчній геометрії, теорії зображень, топології та ін. розділах сучасної математики.
Література
- Buchsbaum D. Exact Categories and Duality // Transactions of the American Mathematical Society. 1955. № 1.
- Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М., 1961.
- Freyd P. Abelian Categories. N. Y., 1964.
- Mitchell B. Theory of Categories. Boston, 1965.
- Weibel Ch. An introduction to Homological Algebra. Cambridge, 1994.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Дрозд Ю. А. Абелева категорія // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Абелева категорія (дата звернення: 28.04.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 08.04.2020
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Національна поліція України
