Абелева функція
А́белева фу́нкція (від прізвища норвезького математика Н. Г. Абеля), мероморфна функція [math]f(w)[/math][math]m[/math] комплексних змінних [math]w=({{w}_{1}},{{w}_{2}},...,{{w}_{m}})[/math], [math]m\ge 1,[/math], яка має [math]2m[/math] незалежних періодів [math]{{a}_{j}}=({{a}_{1j}},{{a}_{2j}},...,{{a}_{mj}}),[/math] [math]j=1,2,...,2m[/math], що, за означенням, [math]f(w+{{a}_{j}})=f(w),[/math][math]j=1,2,...,2m[/math] в усіх правильних [math]j=1,2,...,2m[/math] точках функції [math]f(w)[/math]. Правильними є точки, в яких [math]f(w)[/math] має скінченну границю. Абелева функція називається невиродженою, якщо не існує такого лінійного перетворення змінних [math]{{w}_{1}},{{w}_{2}},...,{{w}_{m}}[/math] , яке переводить [math]f(w)[/math] в функцію з меншою кількістю змінних; в іншому разі [math]f(w)[/math] називається виродженою. Набір незалежних періодів [math]\left\{ {{a}_{j}} \right\}_{j=1}^{2m}[/math] невиродженої Абелевої функції [math]f(w)[/math] називається системою періодів [math]f(w)[/math]. Система незалежних періодів [math]\left\{ {{a}_{j}} \right\}_{j=1}^{2m}[/math] абелевої функції є фундаментальною (або основною чи примітивною), якщо довільний період [math]a[/math] цієї функції можна представити у вигляді [math]a=\sum\limits_{j=1}^{2m}{{{m}_{j}}{{a}_{j}}}[/math], де [math]{{m}_{j}},[/math] [math]j=1,2,...,2m[/math] цілі числа. Таке представлення єдине внаслідок незалежності системи [math]\left\{ {{a}_{j}} \right\}_{j=1}^{2m}[/math]. Отже, множина всіх періодів функції [math]f(w)[/math] утарює нескінченну абелеву групу відносно додавання, а фундаментальні системи утворюють базис цієї групи. При [math]m=1[/math] невироджені Абелеві функції є еліптичними функціями однієї комплексної змінної. Отже Абелева функція є узагальненням еліптичних функцій однієї комплексної змінної на випадок багатьох комплексних змінних. Дослідження Абелевих функція започаткували Н. Г. Абель, К. Г. Якобі, Е. Галуа (19 ст.), фундаментально розвинули Б. Ріман, К. Веєрштрас, Ж. А. Пуанкаре. Матриця [math](m,2m)[/math], стовпці якої складають періоди фундаментальної системи періодів Абелевої функції [math]f(w)[/math]:
, називається рімановою матрицею (або матрицею періодів) функції [math]f(w)[/math]. Для того, щоб ця матриця [math]A[/math] розміром [math](m,2m)[/math] була рімановою матрицею (або матрицею періодів) деякої невиродженої Абелевої функції, необхідно і достатньо, щоб для неї існувала головна матриця [math]B[/math] . Головна матриця — це цілочисельна матриця розміром [math](2m,2m)[/math], яка задовольняє наступні умови:
- [math]{{B}^{T}}=-B[/math] (кососиметричність);
- [math]AB{{A}^{T}}=0[/math] (рівняння Рімана);
- Матриця [math]iAB{{\bar{A}}^{T}}[/math] визначає додатньовизначену Ермітову форму. Тут [math]{{A}^{T}}[/math] – транспонована матриця [math]A[/math], [math][\bar{A}][/math] – матриця, спряжена до [math]A[/math]. Множина Абелевих функцій, які відповідають одній і тій же рімановій матриці, є полем Абелевих функцій, що належать цій рімановій матриці (або матриці періодів). Абелеві функції мають велике значення для теорії ріманових поверхонь і алгебраїчної геометрії як засіб уніформізації, наприклад, абелевих і пікарових многовидів. Як і еліптичні функції, кожна Абелева фукнція може бути представлена у вигляді відношення двох цілих трансцендентних тета-функцій.
Література
- Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций. М.–Л., 1948;
- Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М., 1954.
- Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М., 1960.
- Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М., 1979.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Бахтін О. К. Абелева функція // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Абелева функція (дата звернення: 27.04.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 28.04.2020
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
