Аналітична функція
Аналіти́чна фу́нкція ― основне поняття теорії функцій комплексної змінної. Аналітична функція визначена на множині чисел дійсних та комплексних чисел. Функцію [math]f(x)[/math]дійсного аргументу називають аналітичною в точці [math]x_{0}[/math], якщо для всіх [math]x[/math], що задовольняють умову [math]\begin{vmatrix} x - x_{0} \end{vmatrix}\lt r[/math], відбувається розкладання функції [math]f\left( x \right)= \sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n [/math].
Основні властивості аналітичної функції дійсної змінної: кожна функція, аналітична в точці [math]x_{0}[/math], аналітична також у деякому околі цієї точки; сума, різниця, добуток аналітичних функцій є аналітичною функцією; функція [math]\frac { 1 }{ f(x) }[/math] аналітична в точці [math]x_{0}[/math], якщо [math]f(x)[/math] аналітична в точці [math]x_{0}[/math] та [math]f(x_{0})≠0[/math]; функція [math]f(g(x))[/math] аналітична в точці [math]х_{0}[/math], якщо [math]g(x)[/math] аналітична функція в точці [math]x_{0}[/math] та [math]f(u)[/math] аналітична в точці [math]u_{0}=g(x_{0})[/math]; функція [math]f(x)[/math] аналітична в деякому околі точки [math]x_{0}[/math] диференційована будь-яку кількість раз.
Однозначну функцію [math]f(z)[/math] комплексної змінної називають аналітичною (голоморфною або регулярною) у точці [math]z=z_{0}(z=\infty)[/math], якщо вона диференційована в деякому околі точки [math]z_{0}[/math]. Якщо функція [math]F(z)=f(\frac { 1 }{ z })[/math] аналітична в точці [math]z=0[/math] , тоді визначено [math]f^{'}(\infty)=-z^{ 2 }F^{'}(z)|_{z=0}[/math].
Функція аналітична в деякій області [math]G[/math], якщо вона аналітична у кожній точці цієї області. Функція [math]f(z)[/math] аналітична в точці [math]z=z_{0}(z=\infty)[/math] тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена в деякому околі точки [math]z_{0}(z=\infty)[/math] збіжним степеневим рядом [math]f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n}(z-z_{0})^n [/math]. У випадку [math]z=\infty[/math] це ряд з невід’ємними степенями [math]z: f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_{n}z^{n-1}[/math]. Точку, у якій функція [math]f(z)[/math] є аналітичною, називають регулярною. Якщо функція [math]f(z)[/math] аналітична на множині [math]G[/math] за винятком деяких точок, то ці точки називають особливими. Усі елементарні функції як алгебраїчні, так і трансцендентні є аналітичні на множині комплексних чисел, за винятком деяких особливих точок.
Основні властивості аналітичної функції комплексної змінної: у кожній регулярній точці аналітична функція має похідну будь-якого порядку; принцип максимуму — максимальне значення модуля функції, що є аналітичною в деякій замкненій області [math]G[/math] досягається на межі області; Ліувілля теорема — якщо функція аналітична на всій площині та обмежена, то ця функція є сталою; теорема єдиності аналітичної функції — дві аналітичні функції тотожні в області [math]G[/math], якщо вони збігаються в будь-якій її підобласті.
Література
- Бронштейн И., Семендяев К. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. 3-е изд. Москва, 1988; Безкоровайна Л. Л. Геометричні аспекти аналітичних функцій // Математичні методи та фізико-механічні поля. 2016. Т. 59. № 3.
