Афінне перетворення

Афі́нне перетво́рення — взаємо-однозначне лінійне відображення площини або простору на себе, за якого трьом точкам, що лежать на одній прямій, відповідають три точки, що також лежать на одній прямій.

Характеристика

Найпростішими афінними перетвореннями об’єкта на площині є: зсув, поворот, масштабування. На площині афінне перетворення задане формулами:

[math]\left\{\begin{matrix} x'= a_{11}x + a_{11}y + a_{13} \\ y'= a_{21}x + a_{21}y + a_{23} \end{matrix}\right\}[/math], де [math]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \neq 0 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \neq 0[/math].

Аналогічно задане афінне перетворення простору.

Властивості

Кожне афінне перетворення є добутком ортогонального перетворення та стискання до двох взаємоперпендикулярних прямих. При афінному перетворенні площини прямі, що перетинаються, переходять у прямі, що перетинаються; паралельні прямі — у паралельні прямі. У випадку афінного перетворення простору кожна площина відображається на деяку площину, при цьому площини, що перетинаються, відображаються на площини, що перетинаються; паралельні площини відображаються на паралельні площини; мимобіжні прямі відображаються у мимобіжні прямі. Відношення довжин паралельних відрізків не змінюється. Відношення площ і об’ємів геометричних фігур зберігається. Лінія другого порядку переходить у лінію другого порядку. Збережено просте співвідношення трьох точок.

Література

1. Рудавський Ю. К., Костробій П. П., Луник Х. П. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Львів : Видавництво Державного університету «Львівська політехніка», 1999. 262 с.
2. Яковець В. П., Боровик В. Н., Ваврикович Л. В. Аналiтична геометрiя. Суми : Унiверситетська книга, 2004. 296 с.
3. Boreskov A., Shikin E. Computer Graphics: from Pixels to Programmable Graphics Hardware. Boca Raton : CRC Press, 2014. 568 p.

Автор ВУЕ

Редакція ВУЕ