Вектор (математика)
Ве́ктор [math]\overrightarrow{\rm \textit{a} }[/math] — величина, що характеризується числовим значенням та напрямком. Геометрично вектор — напрямлений відрізок.
Модулем вектора |[math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math]| називають його довжину. Вектор нульової довжини — нуль-вектор, позначають [math]\overrightarrow{\rm 0}[/math]. Початок і кінець нуль-вектора збігаються, він не має напрямку. Якщо довжина вектора дорівнює одиниці [math]|\overrightarrow{\rm \textit{a}}| = 1[/math], вектор називають одиничним, або ортом.
Колінеарними називають вектори, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Якщо колінеарні вектори мають однаковий напрям, то їх називають співнапрямленими і позначають [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}} ↑↑ \overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math]. Якщо напрями векторів протилежні, то — протилежно напрямленими [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}} ↑↓ \overrightarrow{\rm \textit{c}}[/math].
Рівними називають два вектори, якщо вони співнапрямлені та мають однакову довжину; протилежними — два вектори, що мають рівні модулі та протилежні напрями. Координатами вектора [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math] називають проекції вектора на осі координат. Координати вектора позначають [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}} (x,y,z)[/math], де [math]x[/math] — проекція вектора на вісь [math]Ox, y[/math] — проекція вектора на вісь [math]Oy[/math], а [math]z[/math] — проекція вектора на вісь [math]Oz[/math]. Рівність двох векторів означає рівність їхніх відповідних координат. Довжину вектора виражають через його координати за формулою: [math]|\overrightarrow{\rm \textit{a}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math].
Дії з векторами
1. Сумою двох векторів [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math] і [math]\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math] називають вектор [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math]+[math]\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math], початок якого збігається з початком першого, а кінець — із кінцем другого вектора, якщо вони розташовані один за іншим (правило трикутника). Якщо вектори починаються в одній точці, то їхня сума — діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, як на сторонах (правило паралелограма).
Під час додавання векторів їхні координати додають: [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1[/math]+[math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_2[/math]= ([math]x_1 + x_2;\;y_1+y_2;\;z_1 + z_2)[/math].
2. Різницею векторів [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math] і [math]\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math] називають вектор [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}-\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math], початок якого, збігається з кінцем другого вектора, кінець — із кінцем першого, якщо вони починаються в одній точці. Різницю векторів можна розглядати як суму вектора [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math] з вектором [math]-\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math], протилежним до вектора [math]\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math], тобто [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}-\overrightarrow{\rm \textit{b}}=\overrightarrow{\rm \textit{a}} + (-\overrightarrow{\rm \textit{b}})[/math].
Під час віднімання векторів їхні координати віднімають: [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1-\overrightarrow{\rm \textit{a}}_2=(x_1 - x_2;\;y_1 - y_2;\;z_1 - z_2)[/math].
3. Добутком вектора [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math] на число [math]k[/math] називають вектор [math]k[/math][math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math], модуль якого дорівнює добутку модуля вектора на абсолютне значення числа [math]k[/math], а напрям збігається з вектором [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math], якщо [math]k[/math] додатне, і є протилежним, якщо [math]k[/math] — від’ємне. Якщо [math]k[/math]=0, то добутком є нуль-вектор.
Під час множення вектора на число всі його координати множать на це число:
[math]k[/math][math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}(kx,ky,kz)[/math].
4. Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів на косинус кута між ними [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}\overrightarrow{\rm \textit{b}}[/math]=|[math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math]|∙|[math]\overrightarrow{\rm \textit{b}}|cosφ[/math]. Скалярний добуток має такі властивості:
1) [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}\overrightarrow{\rm \textit{b}}=\overrightarrow{\rm \textit{b}}\overrightarrow{\rm \textit{a}}[/math];
2) [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}\overrightarrow{\rm \textit{b}}=0[/math], якщо хоча б один множник дорівнює нулю, тобто або є один нуль-вектор, або вектори перпендикулярні;
3) ([math]\overrightarrow{\rm \textit{a}} + \overrightarrow{\rm \textit{b}})\overrightarrow{\rm \textit{c}}=\overrightarrow{\rm \textit{a}} \overrightarrow{\rm \textit{c}}+\overrightarrow{\rm \textit{b}} \overrightarrow{\rm \textit{c}}[/math];
4) [math](k \overrightarrow{\rm \textit{a}}) \overrightarrow{\rm \textit{b}} = k(\overrightarrow{\rm \textit{a}} \overrightarrow{\rm \textit{b}})[/math].
Якщо вектори [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1 (x_1,y_1,z_1 )[/math] і [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_2 (x_2,y_2,z_2 )[/math], то їхній скалярний добуток дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат: [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1 \overrightarrow{\rm \textit{a}}_2 = x_1 x_2+ y_1 y_2+ z_1 z_2[/math].
Умова перпендикулярності двох не нульових векторів — їхній скалярний добуток дорівнює нулю: [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1 \overrightarrow{\rm \textit{a}}_2 = 0 [/math], тобто [math] x_1 x_2+ y_1 y_2+ z_1 z_2=0[/math].
Кут між векторами можна знайти за формулою:
[math]cosφ=\frac{\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1 \overrightarrow{\rm \textit{a}}_2}{|\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1| |\overrightarrow{\rm \textit{a}}_2|}=
\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}[/math].
Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Якщо хоча б один із трьох векторів нульовий, то такі три вектори також вважають компланарними.
Якщо вектори [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_1(x_1,y_1,z_1 )[/math] і [math]\overrightarrow{\rm \textit{a}}_2 (x_2,y_2,z_2)[/math] колінеарні, то їхні координати пропорційні:[math]\frac{x_1}{x_2}[/math] =[math]\frac{y_1}{y_2}[/math] =[math]\frac{z_1}{z_2}[/math].
Література
Руденко І. Б., Харенко С. Б., Чернобай О. Б. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Ірпінь : Національний університет ДПС України, 2010. 176 с.; Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва : АСТ, 2019. 512 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Вектор (математика) // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Вектор (математика) (дата звернення: 29.04.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 25.06.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
