Аксіоматичний метод
Аксіомати́чний ме́тод — спосіб побудови наукової теорії на основі деяких вихідних положень, які стосуються її основних понять і називаються аксіомами теорії, а всі інші твердження отримуються як логічні наслідки аксіом.
Наукова значущість аксіоматичного методу була обґрунтована Аристотелем, який вперше поділив усі істинні твердження на основні («принципи») й ті, що потребують доведення («ті, що доводяться»). У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи.
На першому етапі він був змістовним, аксіоми приймалися на основі їх очевидності. Прикладом такої дедуктивної побудови теорії служать «Початки» Евкліда.
На другому етапі Д. Гільберт запропонував формальний критерій застосування аксіоматичного методу — вимогу несуперечності, незалежності й повноти системи аксіом. Він сформулював аксіоми і правила виводу класичної логіки висловлень, а П. Бернайс — логіки предикатів.
На третьому етапі аксіоматичний метод стає формалізованим. Аксіоматичне задання — стандартний спосіб визначення нових логік і нових алгебраїчних понять (наприклад, майже-кільце).
Проілюструємо аксіоматичний метод на прикладі логіки висловлень. Формальна (аксіоматична) теорія ℑ вважається визначеною, якщо виконані наступні умови:
1) задана деяка зліченна множина символів — символів теорії ℑ;
2) є підмножина висловлень теорії ℑ, які називаються формулами теорії ℑ;
3) виділено деяку множину формул, які називаються аксіомами теорії ℑ;
4) є скінченна множина R1, …, Rn відношень між формулами, які називаються правилами виводу.
Для кожного Ri існує таке ціле додатне j, що для кожної множини, яка складається з j формул, і для кожної формули A ефективно вирішується питання про те, чи перебувають дані j формули у відношенні Ri з формулою A, і, якщо так, то A називається безпосереднім наслідком даних j формул за правилом Ri. Виводом у ℑ є будь-яка послідовність A1, …, An формул, така, що для будь-якого i формула Ai є або аксіомою теорії ℑ, або безпосереднім наслідком будь-яких попередніх формул згідно одному з правил виводу. Формула A теорії ℑ називається теоремою теорії ℑ, якщо існує вивід в ℑ, в якому останньою формулою є A.
Література
- Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Москва, 1984.
