Алгебраїчна система
Алгебраї́чна систе́ма — множина [math]X[/math], на якій задано деяку сукупність відношень (рівності, порядку тощо) та операцій, що задовольняють певні умови (асоціативності, комутативності). Нехай [math]α[/math], [math]β[/math] — деякі порядкові числа. Типом [math]τ[/math] порядку [math](α, β)[/math] будемо називати пару відображень [math]W(α) → N[/math], [math]W(β) → N[/math] множин [math]W(α)[/math], [math]W(β)[/math] в множину [math]N = {0, 1, 2, ...}[/math]. Тип [math]τ[/math] записуватимемо у вигляді [math]〈τ = m_{0}, ..., m_{ξ}, ...; n_{0}, ..., n_{η}, ...〉 (ξ \lt α, η \lt β)[/math]. Два типи [math]τ[/math], [math]τ′[/math] будуть вважатися рівними тоді й тільки тоді, коли вони мають той самий порядок [math](α, β)[/math] та [math]m_{ξ} = m_{ξ}^{′}[/math], [math]n_{η} = n_{η}^{′}[/math] для всіх та [math]ξ \lt α[/math], [math]η \lt β[/math]. Тип [math]τ[/math] називають скінченним, якщо числа [math]α[/math], [math]β[/math], що становлять його порядок [math](α, β)[/math], скінченні. Алгебраїчною системою (або просто системою) типу τ називають об’єкт [math]A = 〈A, Ω_{F}, Ω_{P}〉[/math], що складається з трьох множин:
- непорожньої множини [math]A[/math],
- множини операцій [math]Ω_{F} = {F_{0}, ..., F_{ξ}, ...}[/math], що визначені на множині [math]A[/math] для кожного [math]ξ \lt α[/math], та
- множини предикатів [math]Ω_{P} = {P_{0}, ..., P_{η}, ...}[/math], що задані на множині [math]A[/math] для кожного [math]η \lt β[/math], причому кількість аргументів операцій і предикатів, що розглядаються, повинні задовольняти умови: [math]n(F_{ξ}) = m_{ξ}[/math] для всіх [math]ξ \lt α[/math] та [math]n(P_{η}) = n_{η}[/math] для всіх [math]η \lt β[/math].
Множину [math]A[/math] називають носієм чи основною множиною системи [math]A[/math], а її елементи — елементами системи [math]A[/math]. Потужність [math]|A|[/math] множини A називають потужністю чи порядком системи [math]A[/math] і позначають також [math]|A|[/math]. На відміну від ін. операцій та предикатів, які можуть бути визначені на множині A, операції [math]F_{ξ} (ξ \lt α)[/math] та предикати [math]P_{η}(η \lt β)[/math] називаються основними, або головними.
Систему [math]A[/math] називають скінченною, якщо множина [math]A[/math] скінченна.
Алгебраїчна система [math]A[/math] називається моделлю (або реляційною системою), якщо [math]Ω_{F} = ∅[/math]. Приклади алгебраїчних систем: [math]A =〈Z, +〉[/math], [math]Β = 〈R, +, –, ×〉[/math], де [math]Z[/math] — множина всіх цілих чисел, [math]R[/math] — множина всіх раціональних чисел, [math]+[/math], [math]–[/math], [math]*[/math] — звичайні операції додавання, віднімання та множення чисел. Отже, [math]A[/math], [math]B[/math] — алгебри типів [math]〈2〉[/math], [math]〈2, 2, 2〉[/math].
Література
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. Москва, 1970.
- Шаховська Н. Б. Формалізаця простору даних за допомогою алгебраїчної системи // Радіоелектроніка, інформатика, управління. 2010. № 1.
Автори ВУЕ
Покликання на цю статтю: Раєвська І. Ю., Раєвська М. Ю. Алгебраїчна система // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Алгебраїчна система (дата звернення: 7.05.2024).
