Алгебри основна теорема
А́лгебри основна́ теоре́ма — історична назва теореми, яка стверджує: поле чисел комплексних є алгебраїчно замкненим полем, тож кожен многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має комплексний корінь.
Алгебри основну теорему розробили у 17 ст. П. Рот (1580–1617; Німеччина) у трактаті «Філософська арифметика» (1608), А. Жирар (1595–1632; Франція) у праці «Новий винахід в алгебрі» (1629) та Р. Декарт у праці «Геометрія» (1637) у формулюваннях, відмінних від сучасних.
У 1740-х К. Маклорен (Шотландія, 1698–1746) та Л. Ейлер уточнили формулювання основної теореми алгебри: «Кожен многочлен із дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних та квадратичних множників із дійсними коефіцієнтами».
Доведення теореми першим опублікував Ж. Л. Д'Аламбер («Дослідження інтегрального числення», 1739). У 2-й пол. 18 ст. з’явилися доведення Л. Ейлера («Дослідження щодо уявних коренів рівнянь», 1751), Ж.-Л. Лагранжа (1772), П.-С. Лапласа (1795) та ін. Припущено, що многочлен має деякі «ідеальні» корені, й доведено, що принаймні один із них є комплексним числом.
Й. К. Ф. Гаусс першим довів основну теорему алгебри без припущення щодо існування коренів, пізніше він навів ще 3 доведення теореми. Перше доведення зроблено у докторській дисертації «Нове доведення теореми про те, що будь-яка ціла раціональна алгебраїчна функція однієї змінної може бути розкладена на дійсні множники першого й другого степеня» (написана 1797, видана 1799). Одне з доведень Гаусса фактично містило побудову поля розкладу многочлена.
В усіх доведеннях теореми в тій чи тій формі використано топологічні властивості множин дійсних та комплексних чисел. Роль топології зведена до твердження про те, що многочлен із дійсними коефіцієнтами непарного степеня має дійсний корінь.
Література
- Завало С. Т. Курс алгебри. Київ, 1985.
- Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. 1997. № 1.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру : в 3 ч. Москва, 2018. Ч. 1: Основы алгебры.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Хмельницький М. О. Алгебри основна теорема // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Алгебри основна теорема (дата звернення: 7.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 30.06.2022
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
