Аналітична геометрія
Аналіти́чна геоме́трія ― розділ математики, у якому геометричні образи (прямі, площини, криві та поверхні другого порядку) досліджують за допомогою методу координат. Основу для координатного методу закладено математиками Стародавньої Греції, зокрема Аполлонієм із Перги. Цей метод систематизовано в працях Р. Декарта. Значний внесок у розвиток аналітичної геометрії доклали Л. Ейлер, Г. Лейбніц, І. Ньютон та П. Ферма.
Суть методу координат така: на площині задають декартову систему координат [math]Оху[/math] та деяку лінію [math]L[/math]. Рівнянням лінії [math]L[/math] відносно декартової системи координат називають співвідношення виду [math]Fx,y=0[/math], яке задовольняють координати [math]x[/math] та [math]y[/math] будь-якої точки [math]A[/math], що лежить на лінії L та не задовольняють координати кожної точки, що не належить лінії. Кожну лінію на площині задано алгебраїчним рівнянням і навпаки ― кожне алгебраїчне рівняння задає лінію на площині.
Основною ідеєю методу координат є: геометричні властивості лінії L визначають аналітичними та алгебраїчними методами дослідження рівняння [math]Fx,y=0[/math]. Базовими формулами аналітичної геометрії є формули відстані між двома точками та координати точки, що ділить відрізок у заданому відношенні.
В аналітичній геометрії на площині досліджують алгебраїчні лінії 1-го та 2-го порядку, визначені, відповідно, алгебраїчними рівняннями 1-го та 2-го порядку. Лінії 1-го порядку ― прямі, задані загальним рівнянням [math]A_{x}+B_{y}+C=0[/math]. Лінії 2-го порядку (т. з. перерізи конічні) визначені рівняннями виду [math]Ax^{ 2 }+Bxy+Cy^{ 2 }+Dx+Ey+F=0[/math]. У просторі прямокутної координати [math]x, y,z[/math] (абсциса, ордината та апліката) точки простору [math]А[/math] задають аналогічно. Кожній поверхні [math]S[/math] ставлять у відповідність її рівняння виду [math]Fx,y,z=0[/math]. Щоби вивчити властивості поверхні [math]S[/math], досліджують алгебраїчними та аналітичними методами рівняння даної поверхні. Лінію [math]L[/math] у просторі задають як лінію, по якій перетинаються дві поверхні [math]S_{1}[/math] та [math]S_{2}[/math]. Алгебраїчні рівняння 1-го порядку задають у просторі площину, тобто загальне рівняння площини має вигляд: [math]Ax+By+Cz+D=0[/math]. Поверхні 2-го порядку визначають рівняннями виду [math]Ax^{ 2 }+By^{ 2 }+Cz^{ 2 }+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Mz+N=0[/math].
Окрім декартової системи координат на площині використовують полярну, у просторі ― циліндричну та сферичну. В аналітичній геометрії активно використовують методи векторної алгебри. Узагальнення аналітичної геометрії на випадок [math]n[/math]-мірного векторного простору вивчає окремий розділ математики ― алгебра лінійна.
Література
- Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Москва, 2005;
- Дьомічев К. Е., Стеблянко П. О., Крилова Т. В. Вища та прикладна математика. Лінійна алгебра. Векторна алгебра. Аналітична геометрія. Комплексні числа. Київ, 2018.
