Аналітична теорія диференціальних рівнянь
Диференціа́льних рівня́нь аналіти́чна тео́рія — розділ диференціальних рівнянь теорії, у якому розв’язки досліджують із позицій теорії аналітичних функцій (теорії функцій комплексних змінних).
В аналітичній теорії диференціальних рівнянь вивчають поведінку розв’язків на всій комплексній площині, розташування особливих точок, поведінку розв’язків у їхніх околах та ін. задачі.
Традиційно вважають, що основним об’єктом аналітичної теорії диференціальних рівнянь є звичайні диференціальні рівняння та їхні системи. Проте за останні 150 р. досягнуто значних успіхів також і в розбудові аналітичної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Підвалини аналітичної теорії диференціальних рівнянь було закладено І. Ньютоном, О. Коші, К. Веєрштрасом, С. Ковалевською.
Особливо активно аналітична теорія диференціальних рівнянь розвивалася у 2-й пол. 19 — на поч. 20 cт. завдяки дослідженням Ш. Бріо (C. Briot), Ж. Буке (J. Bouquet), Б. Рімана, Г. Фробеніуса (G. Frobenius), Л. Фукса (L. Fuchs), А. Пуанкаре, Е. Пікара, П. Пенлеве (P. Painleve), О. Ляпунова та ін. Зокрема, П. Пенлеве та його послідовники вивчали розв’язки диференціальних рівнянь у всій сфері їхнього існування на основі безпосереднього аналізу функцій, які ці рівняння визначають. С. Ковалевська завдяки застосуванню методів аналітичної теорії диференціальних рівнянь виявила нові розв’язки класичної задачі про обертання твердого тіла навколо нерухомої точки під впливом сили тяжіння.
У 1-й пол. 20 ст. аналітичну теорію диференціальних рівнянь розвивали Л. Шлезінгер (L. Schlesinger), Й. Мальмквіст (J. Malmquist), Дж. Біркгоф, Й. Племель (J. Plemel), В. Голубєв, В. Смирнов, І. Лаппо-Данилевський, М. Єругін та ін. У цей час активно досліджували різні аспекти проблеми Рімана — Гільберта, яка фігурувала під номером 21 у списку Гільберта проблем, сформульованих 1900.
У 2-й пол. 20 ст. було виявлено зв’язки рівнянь класу Пенлеве з нелінійними рівняннями математичної фізики, зокрема з рівнянням Кортевега — де Фріза.
Аналітична теорія диференціальних рівнянь включає два основні складники — лінійну та нелінійну аналітичну теорію диференціальних рівнянь, у кожній із яких виокремлюють локальний та нелокальний (глобальний) аспекти.
Сучасна аналітична теорія диференціальних рівнянь тісно пов’язана з такими розділами математики, як-от багатовимірний комплексний аналіз, алгебраїчна геометрія, топологія, диференціальна геометрія, груп теорія тощо.
В Україні окремі питання аналітичної теорії диференціальних рівнянь вивчали математики з університетських та академічних центрів міст Києва, Львова, Одеси, Харкова. Зокрема із задачами аналітичної механіки пов’язані праці Ю. Соколова. К. Латишева та її учні досліджували умови існування т. з. нормально-регулярних розв’язків лінійних рівнянь із поліномними коефіцієнтами. А. Гольдберг, О. Єременко та А. Мохонько отримали вагомі результати щодо властивостей розв’язків алгебраїчних та алгеброїдних диференціальних рівнянь.
Література
- Латышева К. Я., Терещенко Н. И., Орел Г. С. Нормально-регулярные решения и их приложения. Київ, 1974.
- Еременко А. Э. Мероморфные решения алгебраических дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1982. Вып. 37. № 4.
- Мохонько А. З., Мохонько В. Д. О возрастании мероморфных решений алгебраического дифференциального уравнения в окрестности логарифмической особой точки // Украинский математический журнал. 2003. Вып. 55. № 11.
- Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, 2013.
- Ильяшенко Ю. С., Яковенко Я. С. Аналитическая теория дифференциальных уравнений : в 2 т. 2-е изд., стер. Москва, 2019. Т. 1.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Парасюк І. О. Аналітична теорія диференціальних рівнянь // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Аналітична теорія диференціальних рівнянь (дата звернення: 7.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 28.07.2022
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
