Арифметичний n-вимірний простір
Арифмети́чний [math]n[/math]-вимірни́й про́стір ― множина [math] R^n[/math] впорядкованих послідовностей [math]x_1, x_2, …, x_n[/math], які складаються із дійсних чисел.
Такі послідовності називають також арифметичними чи координатними векторами, а саму множину [math]R^n[/math] ― координатним [math]n[/math]-вимірним простором. Вектори [math]x = (x_1, x_2, …, x_n)[/math] і [math]y = (y_1, y_2, …, y_n)[/math] вважаються рівними, якщо [math]x_1 = y_1, x_2 = y_2, …, x_n = y_n[/math]. Множина [math] R^n[/math] є векторним простором, якщо операції додавання векторів і множення вектора на число задати покоординатно: [math]x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, …, x_n + y_n), λx = (λx_1, λx_2, λx_n)[/math].
Вектор [math]0 = (0, 0, …, 0)[/math] називається нульовим, а вектор [math]–x = (–x_1, –x_2, …, –x_n)[/math] ― протилежним до вектора [math]x = (x_1, x_2, …, x_n).[/math]
Будь-який вектор однозначно представляється у вигляді лінійної комбінації векторів [math]e_1 = (1, 0, …, 0), e_2 = (0, 1, …, 0), e_n = (0, 0, …, 1).[/math]
Базис [math]e_1, e_2, …, e_n[/math] векторного простору [math]R^n[/math] називається стандартним. Лінійне відображення із [math] R^n[/math] в [math]R^m[/math] задається матрицею розміру [math]n×m[/math] з дійсними елементами. Довільний [math]n[/math]-вимірний дійсний векторний простір ізоморфний простору [math]R^n[/math].
Арифметичний [math]n[/math]-вимірний простір є нормованим простором відносно норми [math]||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+⋯+x_n^2}[/math], евклідовим простором відносно скалярного добутку [math] \lt x,y\gt = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i[/math] і топологічним простором, базу якого утворюють відкриті [math]n[/math]-вимірні паралелепіпеди: [math]I = \{a \lt x \lt b\}[/math], де [math]a[/math] і [math]b[/math] – задані вектори (нерівності розглядаються покоординатно).
Арифметичний [math]n[/math]-вимірний простір широко використовується в лінійній алгебрі, геометрії, топології, математичній фізиці, теорії ймовірностей та ін. областях математики, а також у фізиці.
Література
- Замятин А. П., Булатов А. А., Верников Б. М. Алгебра и геометрия. Екатеринбург : Уральский университет, 2001. 458 с.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 8-е изд. Москва : КДУ, 2009. 320 с.
- Кутковецький В. Я. Розпізнавання образів. Миколаїв : Чорноморський національний університет імені Петра Могили, 2017. 420 с.
- Кутковецький В. Я. теорія візуалізації багатовимірних об’єктів аналітичної геометрії // Наукові праці. Педагогіка. 2018. Т. 313. Вип. 301. С. 31–41.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Бондаренко В.М. Арифметичний n-вимірний простір // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Арифметичний n-вимірний простір (дата звернення: 8.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 30.07.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Генеральний штаб Збройних сил України
Державна прикордонна служба України
Кіберполіція
Національна поліція України