Безу теорема
Безу́ теоре́ма — твердження про остачу від ділення многочлена на двочлен. Названа на честь математика Етьєна Безу, який 1774 уперше сформулював і довів цю теорему. Теорема Безу та її наслідки лежать в основі методу розкладання многочленів на множники при розв’язуванні рівнянь вищих степенів, а також завдяки теоремі Безу можна знаходити раціональні корені поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами.
Формулювання
Остача від ділення довільного многочлена [math]n[/math]-го степеня [math]P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n[/math] на лінійний двочлен дорівнює значенню многочлена [math]P(x)[/math] в точці [math]x = a[/math], тобто [math]P(a)[/math].
Доведення
Розглянемо [math]P(x)[/math] — многочлен степеня [math]n[/math], який ділиться на двочлен [math](x-a)[/math] з остачею [math]R[/math] ([math]R[/math] не містить [math]x[/math]). [math]Q(x)[/math] — частка від ділення [math]P(x)[/math] на [math](x-a)[/math] є многочленом степеня [math]n – 1[/math].
Тоді:[math]P(x)=(x-a)Q(x) + R[/math].
Підставивши в цю рівність значення [math]x = a[/math], отримуємо [math]P(a)= (a-a)Q(a)+ R = 0·Q(a) + R = R[/math].
У результаті [math]R = P(a)[/math] або остача від ділення многочлена на двочлен [math](x-a)[/math] дорівнює значенню цього многочлена при [math]x = a[/math], що і треба було довести.
Наслідки
Якщо многочлен [math]P(x)[/math] ділиться на [math](x-a)[/math] без остачі, то число [math]a[/math] є коренем многочлена [math]P(x)[/math].
Якщо число [math]a[/math] є коренем многочлена [math]P(x)[/math] , то цей многочлен ділиться на двочлен [math](x-a)[/math] без остачі.
Для того, щоб число [math]a[/math] було коренем многочлена [math]P(x)[/math] необхідно і достатньо, щоб остача від ділення цього многочлена на двочлен [math](x-a)[/math] дорівнювала нулю.
Література
Fulton W. Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. Versailles : Université de Versailles, 2005. 225 p.
Ясінський В. В. Математика. Київ : Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», 2007. 368 с.
Lynch P. That's Maths. Dublin : Gill Books, 2016. 331 p.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Безу теорема // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Безу теорема (дата звернення: 29.04.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 13.08.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Генеральний штаб Збройних сил України
Державна прикордонна служба України
Кіберполіція
Національна поліція України