Бесселя функції

Бе́сселя фу́нкції — спеціальний клас циліндричних функцій, які можуть бути визначені як розв’язки диференціального рівняння Бесселя (1):

[math]x^{ 2 }\dfrac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } + x\dfrac { dy }{ dx } + (x^{ 2 } - p^{ 2 })y = 0[/math],

де [math]p[/math] — порядок функції, а [math]x[/math] — незалежна змінна.

Історична довідка

Уперше розглянуті математиком Д. Бернуллі в роботі про коливання важкого ланцюга (1738). Пізніше математик Л. Ейлер використовував їх при вивченні коливань мембрани (1766).

Названі на честь астронома і математика Ф. В. Бесселя за пропозицією математика О. К. Шлемільха (1823–1901; Німеччина), який 1857 ввів назву «функції Бесселя» і здійснив першу спробу побудувати їхню теорію.

Функція Бесселя першого роду

Оскільки рівняння Бесселя є диференціальним рівнянням другого порядку, то має два лінійно-незалежні розв’язки.

Перший частковий розв’язок рівняння Бесселя:

[math]y_{ 1 } = x^{ p }( 1 - \frac { x^{ 2 } }{ 2(2p + 2) } + \frac { x^{ 4 } }{ 2·4(2p+2)(2p+4) } - \frac { x^{ 6 } }{ 2·4·6(2p+2)(2p+4)(2p+6) } + \dots)[/math],

помножений на деяку сталу, називається функцією Бесселя першого роду [math]p[/math]-го порядку і позначається символом [math]Jp[/math].

Отже: [math]J_{ p }(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac { (-1)^{ \nu } }{ \nu!Г(p+\nu+1) }(\frac { x }{ 2 })^{ p+2\nu }[/math], де де Г(z) — гамма-функція Ейлера. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно [math]\frac { 1 }{ \sqrt { x } }[/math].

Якщо [math]p[/math] не ціле, то другий частковий розв’язок [math]y_{ 2 }[/math] отримуємо, замінюючи в [math]y_{ 1 }[/math] число [math]p[/math] на [math]– p[/math]. Розв’язок [math]y_{ 2 }[/math] позначається символом [math]J_{-p}[/math] і при не цілих [math]p[/math] загальний розв’язок рівняння Бесселя має вигляд: [math]y=C_1 J_p + C_2 J_{-p}[/math].

Якщо, наприклад, [math]p = \frac { 1 }{ 2 }[/math], то [math]y_{ 1 } = \frac { 1 }{ \sqrt { x } } (x - \frac { x^{ 3 } }{ 3! } + \frac { x^{ 5 } }{ 5! } - \frac { x^{ 7 } }{ 7! } + \dots)[/math]. Цей розв’язок, помножений на сталу [math]\sqrt { 2π }[/math], називається функцією Бесселя [math]J_{\frac { 1 }{ 2 }}[/math] і, отже: [math]J_{\frac { 1 }{ 2 } }(x) = \sqrt { \frac { 2 }{ πx } }sin x[/math]. Аналогічно [math]J_{- \frac { 1 }{ 2 } }(x) = \sqrt { \frac { 2 }{ πx } }cos x[/math]. Загальний інтеграл рівняння (1) при [math]p= \frac { 1 }{ 2 }[/math] має вигляд:

[math]y = C_{ 1 } J_{\frac { 1 }{ 2 } }(x) + C_{ 2 } J_{-\frac { 1 }{ 2 } }(x)[/math].

Функція Бесселя другого роду

При цілому додатному [math]p=n[/math] функція Бесселя [math]J_{ p } = J_{ n }(x) = \sum_{\nu=0}^\infty \frac { (-1)^{ \nu } }{ \nu!(n+\nu)! }(\frac { x }{ 2 })^{ n + 2\nu }[/math]. Другий частковий розв’язок у цьому випадку потрібно шукати у вигляді [math] K_{ n }(X) = J_{ n }(x)lnx + x^{ -n }\sum_{k=0}^\infty b_{ k } x^{ k }[/math], де коефіцієнти [math]b_{ k }[/math] визначаються підстановкою розв’язку в рівняння (1).

Функція [math]K_{ n }(x)[/math] із визначеними таким чином коефіцієнтами, помножена на деяку сталу, називається функцією Бесселя другого роду [math]n[/math]-го порядку. Загальний інтеграл рівняння (1) у цьому випадку матиме вигляд:

[math]y = C_{ 1 }J_{ n }(x) + C_{ 2 }K_{ n }(x)[/math].

Оскільки [math]\lim_{x \to 0}K_{ n }(x) = \infty[/math], то для отримання скінченних розв’язків при [math]x=0[/math] потрібно вибирати [math]C_{ 2 } = 0[/math].

Для цілих значень [math]p[/math] можна надати інше визначення функції Бесселя, використовуючи інтегральне зображення:

[math]J_{ n }(x) = \frac { 1 }{ π }\int _{ 0 }^{ π }{ cos(nt - x sin t) }dt[/math] або [math] J_{ n }(x) = \frac { 1 }{ 2π }\int _{ -π }^{ π }{ e^{ i(nt-x sin t) } }dt[/math].

У такому вигляді ці функції розглядав Бессель, досліджуючи за його допомогою деякі їхні властивості.

Застосування функцій Бесселя

Застосовуються у розв’язуванні багатьох задач математичної фізики, зокрема: поширення електромагнітних хвиль у циліндричному хвилеводі; теплопровідності у циліндричних об’єктах; форми коливання тонкої круглої мембрани; швидкості елементарних частинок у заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі; під час обробки сигналів тощо.

Література

Bowman Fr. Introduction to Bessel Functions. New York : Dover, 2018. 134 p.
Apelblat A. Bessel and Related Functions: Mathematical Operations with Respect to the Order : in 2 vol. Berlin : De Gruyter, 2020.

Автор ВУЕ

І. Б. Ковальська

Покликання на цю статтю: Ковальська І. Б. Бесселя функції // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бесселя функції (дата звернення: 10.05.2024).

Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 15.04.2024

Важливо!

Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.

Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.

Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.

Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів

Бесселя функції

Зміст

Історична довідка

Функція Бесселя першого роду

Функція Бесселя другого роду

Застосування функцій Бесселя

Література

Автор ВУЕ

Важливо!

Офіс Президента України

Верховна Рада України

Кабінет Міністрів України

Служба безпеки України

Міністерство оборони України

Міністерство внутрішніх справ України

Генеральний штаб Збройних сил України

Державна прикордонна служба України

Кіберполіція

Національна поліція України