Бінарна операція
Біна́рна операція, двомісна операція — закон, який двом елементам певної множини (аргументам, або операндам) ставить у відповідність третій елемент (результат операції).
Найвідомішими та найдавнішими бінарними операціями є основні арифметичні дії (додавання, віднімання, множення та ділення).
Зміст
Характеристика
Будь-яке відображення f: Х × Х → Х називається бінарною операцією на множині Х.
Для бінарних операцій найчастіше використовують запис вигляду a ○ b (наприклад, a + b, a ⋅ b). У певних окремих випадках елементи пишуть підряд без інфікса ab.
Наприклад: 8 + 20 = 28, 8 ⋅ 20 = 160, 2 ⋅ а = 2а.
Крім того, можливий запис операції у функціональній формі: f (a, b).
Наприклад: найбільший спільний дільник — HCД (a,b): найбільше натуральне число, на яке без остачі діляться a та b; найменше спільне кратне НСК (a, b): найменше натуральне число, яке без остачі ділиться на a та b :
НСД (8,20) = 4, НСК (8,20) = 40.
Типи бінарних операцій
Бінарна операція називається:
- комутативною, якщо a ○ b = b ○ a для будь-яких a,b з множини Х;
- асоціативною, якщо (a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c) для будь-яких a,b,c з множини Х;
- ідемпотентною, якщо a ○ a = a для будь-якого a з множини Х.
Операції додавання та множення чисел є комутативними та асоціативними:
а + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),
а ⋅ b = b ⋅ а, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c),
але не є ідемпотентними: а + a = a в загальному випадку не виконується, а справедливо лише коли а = 0 , а добуток а ⋅ а = а лише коли а = 1 .
Прикладом некомутативної операції є віднімання: a - b ≠ b - a.
Якщо розглядати довільні множини, операції об’єднання та перерізу є комутативними, асоціативними та ідемпотентними:
a ∪ b = b ∪ a, (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c), a ∪ a = a,
a ∩ b = b ∩ a, (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c), a ∩ a = a.
Нульовий та одиничний елементи
Елемент a0, для якого виконується рівність a ○ a0 = a0 ○ a = 0, називається нульовим елементом відносно даної операції.
Елемент a1, для якого виконується a ○ a1 = a1 ○ a = a, називається нейтральним, або одиничним елементом відносно даної операції.
На множині дійсних чисел 0 є нульовим, а 1 — нейтральним елементом відносно операції множення: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.
При цьому число 0 є нейтральним елементом відносно операції додавання чисел: a + 0 = 0 + a = a.
У теорії множин порожня множина ∅ є нульовим, а універсальна множина U — нейтральним елементом відносно операції перерізу:
a ∩ ∅ = ∅ ∩ a = ∅, a ∩ U = U ∩ a = a,
і навпаки: універсальна множина U є нульовим, а порожня множина ∅ — нейтральним елементом відносно операції об’єднання:
a ∪ U = U ∪ a = U, a ∪ ∅ = ∅ ∪ a = a.
У теорії ймовірностей неможлива подія — нульовий, а достовірна — нейтральний елемент відносно операції множення ймовірностей і навпаки: достовірна подія — нульовий, а неможлива — нейтральний елемент відносно операції додавання ймовірностей.
Фіксовані елементи (наприклад 0 або 1) деякої множини називають ще нульарними операціями.
Література
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Москва : Мир, 1970. 416 с.
- Шенфилд Дж. Математическая логика и основания математики / Пер. с англ. Москва : Наука, 1975. 265 с.
- Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. Boca Raton : CRC Press ; Taylor & Francis Group, 2015. 513 p.
- Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Ведение в математическую логику. Москва : Ленанд, 2016. 240 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Андрейцев А. Ю. Бінарна операція // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бінарна операція (дата звернення: 10.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 09.04.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Національна поліція України
