Біноміальний ряд
Біноміа́льний ряд — вираз, який є узагальненням формули бінома Ньютона на [math](1+x)^n[/math] на випадок дробових і від’ємних показників [math]n[/math].
Це нескінчений числовий ряд, отриманий шляхом розкладу степеневої функції [math](1+x)^n[/math] у ряд Маклорена:
[math](1\pm x)^n = 1 \pm nx +\frac{{n (n-1)}}{{2!}}x^2 + \ldots + (\pm 1)^m \frac{{n (n-1)\ldots (n-m+1)}}{{m!}}x^m + \ldots,[/math]
при [math]|x|≤1; n\gt 0.[/math]
Приклади представлення функції [math](1\pm x)^n[/math] біноміальним рядом при деяких значеннях [math]n [/math]:
[math]\frac{{1}}{{1+x}} = 1-x+x^2 -x^3 +\ldots + (-1)^n x^n + \ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=-1;[/math]
[math]\frac{{1}}{{1-x}} = 1+x+x^2 +x^3 +\ldots + x^n + \ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=-1;[/math]
[math]\sqrt{1+x} = 1+0,5x -0,125x^2 +\ldots + (\pm 1)^n\frac{{0,5(0,5-1)\ldots (0,5-n+1)}}{{n!}}x^n +\ldots,\; \;x ∈ (-1;1),\; \; n=0,5;[/math]
Якщо показник степеню [math]n[/math] стає натуральним числом, то біноміальний ряд перетворюється у біном Ньютона.
Ця формула була відома задовго до Ісаака Ньютона. Можливість поширення формули бінома Ньютона на випадок дробових або від’ємних показників [math]n[/math] уперше показана Ісааком Ньютоном, чітко обґрунтована 1826 Нільсом Генріком Абелем.
Література
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва : АСТ, 2019. 512 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Біноміальний ряд // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біноміальний ряд (дата звернення: 10.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 08.07.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Генеральний штаб Збройних сил України
Державна прикордонна служба України
Кіберполіція
Національна поліція України