Біноміальні коефіцієнти
Біноміа́льні коефіціє́нти ― числові множники доданків у розкладі бінома Ньютона [math](a+b)^n[/math] у степеневий ряд:
[math](a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+⋯+C_n^n b^n[/math],
тобто числа [math]C_n^k[/math] (комбінації з [math]n[/math] елементів по [math]k[/math]), які також позначаються символом [math]{k \choose n}[/math].
Для усіх натуральних чисел або рівних нулю чисел [math]n[/math], [math]k[/math]:
[math]C_{n}^{k}=\left\{ \begin{align}&\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\left( n-1 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{k!}, \; \; 0≤k≤n, \\ & 0, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0≤n\lt k,\\ \end{align} \right.[/math]
де [math]k![/math] означає факторіал числа [math]k[/math], тобто [math]k!=1·2·3\ldots k[/math].
Значення біноміальних коефіцієнтів можуть також бути визначені з трикутника Паскаля — нескінченої таблиці, в якій кожне число є сумою двох чисел, що стоять над ним праворуч і ліворуч (якщо числа нема, воно вважається рівним нулю). Кожен рядок визначає коефіцієнти розкладу бінома Ньютона степеню [math]n[/math]:
Так, для випадку [math]n= 3~[/math] отримаємо: [math]{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}[/math]. Числа, що складають трикутник Паскаля, виникають природно в алгебрі, комбінаториці, теорії ймовірностей, математичному аналізі, теорії чисел.
Властивості:
- коефіцієнти, рівновіддалені від кінців розкладу, рівні: [math]C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}[/math];
- кожен елемент розкладу дорівнює сумі двох коефіцієнтів попереднього рядка, що стоять в трикутнику Паскаля зліва та справа від нього: [math]C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}[/math];
- сума усіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює [math]~{{2}^{n}}[/math]: [math]C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\ldots +C_{n}^{n}={{2}^{n}}[/math].
Література
- Єжов І. І., Скороход А. В., Ядренко М. Й. Елементи комбінаторики. Київ : Вища школа, 1972. 84 с.
- Оглобліна О. І., Сушко Т. С., Шрамко С. В. Елементи теорії чисел : навчальний посібник. Суми : Сумський державний університет, 2015. 186 с.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Польовий Д. В. Біноміальні коефіцієнти // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Біноміальні коефіцієнти (дата звернення: 10.05.2024).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 29.04.2021
Важливо!
Ворог не зупиняється у гібридній війні і постійно атакує наш інформаційний простір фейками.
Ми закликаємо послуговуватися інформацією лише з офіційних сторінок органів влади.
Збережіть собі офіційні сторінки Національної поліції України та обласних управлінь поліції, аби оперативно отримувати правдиву інформацію.
Отримуйте інформацію тільки з офіційних сайтів
Офіс Президента України
Верховна Рада України
Кабінет Міністрів України
Служба безпеки України
Міністерство оборони України
Міністерство внутрішніх справ України
Генеральний штаб Збройних сил України
Державна прикордонна служба України
Кіберполіція
Національна поліція України