Бардіна–Купера–Шріффера теорія

Барді́на — Ку́пера — Шрі́ффера тео́рія, теорія БКШ — мікроскопічна теорія надпровідності кристалічних тіл твердих, що ґрунтується на уявленні про надплинність куперівських пар електронів.

Історична довідка

Феноменологічну теорію явища надпровідності (відкрито Г. Камерлінгом-Оннесом, 1911) запропонували брати Ф. Лондон і Г. Лондон ще 1935. Та мікроскопічну теорію надпровідності побудували лише в 1950-х Г. Фреліх, М. Р. Шафрот (1923–1959; Швейцарія), С. Т. Батлер (1926–1982; Австралія), Дж. М. Блатт (1921–1990; Австрія — США), Дж. Бардін, Л. Купер, Дж. Шріффер, М. Боголюбов та ін.

Г. Фреліх першим звернув увагу, що вирішальним фактором в утворенні надпровідного стану є взаємодія електронів із ґраткою надпровідника. Два вільні електрони відштовхуються один від одного кулоновою взаємодією (див. Закон Кулона), та в полі ґратки їх притягають позитивні йони; через таку взаємодію з позитивним йоном їм вигідніше бути поряд. Мовою теорії поля це подають як результат взаємодії електронів «віртуальними» фононами, випущеними одним електроном і ввібраними іншим. У поданні вторинного квантування, через оператори народження й знищення електронів з імпульсом [math]k[/math] і спіном [math]s = ± 1/2: a_{ k,s }^{ + }, a_{ k,s }[/math] і фононів із імпульсом [math]q: b_{ q }^{ + }, b_{ q }[/math], гамільтоніан динамічної системи, що описує рух електронів у полі ґратки, має вигляд (гамільтоніан Блоха — Фреліха):

[math]H_{Fr} = H_{o}^{el} + H_{o}^{f} + H_{int}[/math] (1)

[math]H_{o}^{el} = \sum _{ k,s } E(k)a_{ k,s }^{ + }[/math];

[math]H_{o}^{f} = \sum _{ q } \omega_{ q }b_{ q }^{ + }b_{ q }, [/math]

[math]H_{int} = g\sum _{ k,q,s }(\frac { \omega_{ q } }{ 2V })^{ 1/2 }a_{ k,s }^{ + }a_{ k + q,s }^{ + }b_{ q }^{ + } + herm.conj[/math],

де [math]E(k)[/math] — енергія вільного електрона, [math]ωq[/math] — енергія фонона, [math]V[/math] — об’єм системи, [math]g[/math] — стала зв’язку.

Метод Фреліха ґрунтується на застосуванні теорії збурень до гамільтоніану, що зазвичай призводить до нестійкості системи. Він якісно пояснює причини виникнення надпровідності, оцінює порядок взаємодій, а також передбачає ізотопічний ефект (різниця енергій нормального й надпровідного стану обернено пропорційна ізотопічній масі йона). Г. Фреліх розрахував варіаційним методом одновимірну модель електронного газу, що взаємодіє з ґраткою. Енергія зв’язку залежить від сталої зв’язку [math]g[/math] не аналітично, як [math]exp(-const\Big/g^{2})[/math], у спектрі елементарних збуджень є енергетична щілина. Згодом Л. Купер зауважив, що в стані надпровідності два електрони з енергіями поблизу сфери Фермі можуть утворювати зв’язаний стан (пару). Потім М. Р. Шафрот, С. Т. Батлер і Дж. М. Блатт висунули ідею, що «притягання» між електронами (унаслідок обміну фононами за переваги кулонового відштовхування) робить можливою Бозе — Айнштайна конденсацію електронів у систему корельованих пар із повним нульовим імпульсом. Але застосоване квазіхімічне наближення виявилось дуже грубим для розрахунків, бо враховувало лише близькі кореляції.

Подальшим істотним кроком теорії надпровідності стала теорія БКШ, створена 1957 Дж. Бардіном, Л. Н. Купером, Дж. Р. Шріффером.

Характеристика

Суть теорії полягає в спрощеному модельному гамільтоніані, в якому взаємодію електронів із ґраткою (електрон-фононна взаємодія) замінює пряма стала взаємодія (притягання) електронів із протилежними імпульсами й спінами у вузькому енергетичному шарі поблизу Фермі поверхні.

Засадничі ідеї

Основна ідея — звести загальну взаємодію (1) електронів, які обмінюються «віртуальними» фононами, до їхньої прямої взаємодії. Аналіз теорії збурень для гамільтоніану (1) показує, що є багато процесів, які сильно змінюють енергії електрона чи фонона та не пов’язані з виникненням надпровідності (власно-енергетичні ефекти). Завдяки цьому можна підсумувати всі внески від діаграм Фейнмана, що відповідають таким процесам, і виробити теорію збурень, відповідну деякому «ефективному» гамільтоніану взаємодії між електронами. Такий «ефективний» гамільтоніан має вигляд 4-ферміонної взаємодії виду:

[math]H_{el - el} = -\frac { 1 }{ 2 }\sum _{ k, k^{\wedge'}, q, s, s^{\wedge'}}V_{k, - k'} a_{ k + k, s }^{ + } a_{ -k', s' }^{ + } a_{ -k' + q, s' } a_{ k, s },[/math] (2)

де з точністю до нижчих порядків теорії збурень

[math]V_{k, k', q} = -\frac { 1 }{ V }\frac { g^{2}\omega_{ q }^{2} }{ \omega_{ q }^{2} - (E(k' + q) - E(k'))^2 },[/math] (3)

а новий гамільтоніан

[math]H = H_{ 0 }^{ el } + H_{ el - el }[/math] (4)

Безпосередньо з гамільтоніану (2) не видно, що взаємодія між двома електронами притягальна, бо [math]V_{k, k', q}[/math] може мати й від’ємні значення. Тому наступним спрощенням було припущення, що всі електрони в металі утримуються всередині сфери Фермі, а утворення пар відбувається між електронами з антипаралельними спінами й протилежними імпульсами. Крім того, зручно працювати у великому канонічному ансамблі, коли повне число електронів не фіксовано, фіксованим є хімічний потенціал [math]μ[/math] (енергія на поверхні Фермі). У такому разі повний гамільтоніан буде [math]H — μŇ[/math], де [math]Ň[/math] — оператор числа частинок. Кінцевий вигляд гамільтоніану залишиться таким самим (2), (4), та слід врахувати, що суми за імпульсами [math]k, k', q[/math] у формулі (2) обмежені:

[math]k + q = k', s = s'[/math]. (5)

Загальна енергія з урахуванням електрон-електронної взаємодії виявляється нижче енергії вільного стану, тобто системі вигідніше перебувати в стані надпровідності.

У теорії БКШ було обчислено спектр збуджень, у якому виявлено енергетичну щілину, залежну від температури, а також таку, що зникає чи перетворюється на нуль за певної критичної температури та експоненційно залежить від [math]\frac { 1 }{ g^{3} }[/math] й узгоджена з розрахунками Фреліха для одновимірної моделі.

Теорія БКШ має велику кількість припущень, що значно спрощують теоретичний аналіз, але вони недостатньо обґрунтовані.

Послідовніша теорія надпровідності, яка ґрунтується на гамільтоніані Блоха — Фреліха (1), розвинена М. Боголюбовим. Провідна ідея Боголюбова — застосування канонічних перетворень до квазічастинок, що є суперпозицією електронних станів із імпульсами [math]k[/math] і діркових станів із імпульсами [math]–k[/math] й протилежними спінами. Метод загальний, дозволяє дослідити збудження в системі фермі- і бозе-частинок. Ідея полягає у використанні нових фермі-операторів:

[math]\alpha_{k,0} = u_{k}a_{k,1/2} – υ_{k}{a_{-k,-1/2}}^{+}[/math]

[math]\alpha_{k,1} = u_{k}a_{-k,1/2} – υ_{k}{a_{k,-1/2}}^{+}[/math]

Теорія збурень для нового гамільтоніану містить внески з «небезпечними» знаменниками для віртуального народження пари частинок із протилежними імпульсами й спінами. Невизначеність параметрів [math]uk[/math] і [math]υk[/math] дозволяє забезпечити взаємну компенсацію таких діаграм; це призводить до нелінійного рівняння, розв’язок якого дозволяє отримати всі результати теорії БКШ.

Значення

Теорія передбачила нові ефекти та стимулювала подальші розробки в теоретичних і експериментальних дослідженнях. Були створені матеріали, які ставали надпровідниками за вищих температур або витримували сильні магнітні поля. Завдяки цьому сконструйовано потужні електромагніти невеликих розмірів, що використовують мало енергії.

Авторів теорії відзначено Нобелівською премією з фізики (1972).

Література

1. Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории сверхпроводимости. Москва : Академия наук СССР, 1958. 128 с.
2. Теория сверхпроводимости / Пер. с анг. и нем. Москва : Академия наук СССР, 1960. 416 с.
3. BCS: 50 Years / Ed. by L. Cooper, Dm. Feldman. Singapore : World Scientific, 2010. 588 p.

Автор

Редакція_ВУЕ

Покликання на цю статтю: Редакція ВУЕ Бардіна–Купера–Шріффера теорія // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Бардіна–Купера–Шріффера теорія (дата звернення: 29.04.2024).